پیشرفت چشمگیری در جهت پاسخ به یکی از هفت مسئلهٔ جایزهٔ هزار سالهٔ مؤسسه ریاضیات کلی با بهرهگیری از یادگیری عمیق حاصل شد. چالش این است که ثابت شود آیا معادلهٔ ناویر‑استوکس در دینامیک سیالات تکین ایجاد میکند یا خیر. این کار توسط پژوهشگران در ایالات متحده و بریتانیا — از جمله برخی در گوگل دیپمایند — انجام شد. برخی از اعضای تیم پیشتر نشان داده بودند که نسخههای سادهشدهٔ این معادله میتوانند تکینهای پایدار تولید کنند که بهطور قابلاعتمادی شکل میگیرند. در پژوهش جدید، پژوهشگران تکینهای ناپایدار کشف کردند که تنها تحت شرایط بسیار خاصی ظاهر میشوند.
معادلهٔ جزئی ناویر‑استوکس در اوایل قرن نوزدهم توسط کلود‑لوئی ناویر و جورج استوکس تدوین شد. این معادله ارزش خود را در مدلسازی سیالات غیرقابل فشرده در موقعیتهای مختلف نشان داده است؛ از جمله جریان آب در لولهها، جریان هوا اطراف هواپیماها، حرکت خون در رگها و مغناطیسهیدرودینامیک در پلاسماها.
تا کنون هیچکس ثابت نکرده است که آیا راهحلهای صاف و بدون تکین به این معادله در سهبعد همیشه وجود دارند یا خیر. پدرام حسندزه، متخصص دینامیک سیالات از دانشگاه شیکاگو میگوید: «در دنیای واقعی، تکینی وجود ندارد… انرژی تا بینهایت نمیرسد.» او افزود: «پس اگر معادلهای تکین داشته باشد، نشان میدهد که برخی قوانین فیزیکی در آن گنجانده نشدهاند.» در سال ۲۰۰۰، مؤسسه ریاضیات کلی در دنور، کولورادو این مسأله را به عنوان یکی از هفت مسئلهٔ کلیدی حلنشدهٔ ریاضی فهرست کرد و جایزهٔ یک میلیون دلار برای یافتن پاسخ ارائه داد.
روشهای محاسباتی
پژوهشگران بهطور سنتی برای حل این مسئله از روشهای تحلیلی استفاده میکردند، اما در چند دههٔ اخیر شبیهسازیهای محاسباتی پیشرفته برای کمک به جستجو به کار گرفته شدهاند. در مقالهای در سال ۲۰۲۳، ریاضیدان تریستان باکمستر از دانشگاه نیویورک و همکارانش از نوع خاصی از الگوریتم یادگیری ماشین به نام شبکهٔ عصبی مبتنی بر فیزیک برای پاسخ به این سؤال استفاده کردند.
«تفاوت اصلی این است… شما راهحل را بهصورت بسیار غیرخطی با استفاده از یک شبکهٔ عصبی نشان میدهید»، باکمستر توضیح میدهد. این روش به مدل اجازه میدهد فضایی پایینبعدی با پارامترهای آزاد کمتر اشغال کند و بهاینترتیب بهینهسازی مؤثرتری داشته باشد. با بهکارگیری این رویکرد، پژوهشگران اولین تکین پایدار را در معادلهٔ اویلر بهدست آوردند. این معادله شبیهساز معادلهٔ ناویر‑استوکس است که ویسکوزیته را در بر نمیگیرد.
یک تکین پایدار حتی اگر شرایط اولیهٔ سیال کمی تغییر کند، همچنان رخ میدهد — هرچند زمان تشکیل آن ممکن است تغییر کند. اما یک تکین ناپایدار، اگر شرایط اولیه حتی بهصورت ناچیزی نیز تغییر کند، ممکن است هرگز ظاهر نشود. برخی پژوهشگران فرض کردهاند که تمام تکینهای موجود در معادلهٔ ناویر‑استوکس باید ناپایدار باشند، اما یافتن تکینهای ناپایدار در یک مدل کامپیوتری بهطرز فوقالعادهای دشوار است.
«پیش از نتایج ما هیچ تکین ناپایداری برای معادلهٔ سیال غیرقابل فشرده بهصورت عددی یافت نشده بود»، چنگ‑یائو لای، ژئوفیزیکدان دانشگاه استنفورد کالیفرنیا میگوید.
شبکه عصبی آگاه به فیزیک
در پژوهش جدید، مؤلفان مقالهٔ اصلی و دیگران با پژوهشگران گوگل دیپمایند همکاری کردند تا با استفاده از یک شبکهٔ عصبی آگاه به فیزیک، بهدنبال تکینهای ناپایدار در نسخهٔ محدود سهبعدی معادلهٔ اویلر بگردند. یونجی وانگ از دانشگاه نیویورک و استنفورد در وبلاگ دیپمایند مینویسد: «بر خلاف شبکههای عصبی معمولی که از دادههای وسیع یاد میگیرند، ما مدلهای خود را طوری آموزش دادیم که معادلاتی که قوانین فیزیک را مدل میکنند، مطابقت داشته باشند.» او افزود: «خروجی شبکه بهطور مداوم با آنچه معادلات فیزیکی انتظار دارند مقایسه میشود و شبکه با بهکمینهکردن «باقیمانده» خود—مقداری که راهحل آن در برآورده نشدن معادلات را نشان میدهد—یاد میگیرد.»
پس از جستجوی جامع با دقتی که چندین مرتبه بالاتر از پروتکلهای معمول یادگیری عمیق است، پژوهشگران خانوادههای جدیدی از تکینها را در معادلهٔ اویلر سهبعدی کشف کردند. آنها همچنین تکینهایی را در معادلهٔ رسانهٔ متخلخل غیرقابل فشرده که برای مدلسازی جریان سیالات در خاک یا سنگ استفاده میشود، و در معادلهٔ بوسینسک که جریانهای جوی را مدل میکند، یافتند.
پژوهشگران همچنین بهدستآوردهای جدیدی در مورد قدرت تکینها دست یافتند. این میتواند مهم باشد، زیرا تکینهای قویتر ممکن است هنگام انتقال از معادلهٔ اویلر به معادلهٔ ناویر‑استوکس، بهواسطهٔ ویسکوزیته بهسختی صاف شوند. پژوهشگران هماکنون در پی مدلسازی سامانههای بازتر هستند تا این مسأله را در فضایی واقعیتر بررسی کنند.
حسندزه، که در این کار مشارکت نداشته است، معتقد است که این دستاورد مهم است — اگرچه نتایج غیرمنتظره نیستند. او توضیح میدهد: «اگر معادلهٔ اویلر به شما بگوید «هی، یک تکین وجود دارد»، در حقیقت نشان میدهد که برخی فیزیکها در مدل گنجانده نشدهاند و این فیزیکها در اطراف تکین بسیار مهم میشوند.» او ادامه میدهد: «در مورد اویلر میدانیم که تکین بهدلیل اینکه در کوچکترین مقیاسها اثرات ویسکوزیته اهمیت مییابند، بروز میکند… یافتن یک تکین در معادلهٔ اویلر دستاورد بزرگی است، اما به سؤال اساسی اینکه آیا ناویر‑استوکس نمایانگر جهان واقعی است یا نه پاسخ نمیدهد، چرا که برای ما ناویر‑استوکس همه چیز را نشان میدهد.»
او میگوید گسترش پژوهش به مطالعهٔ معادلهٔ کامل ناویر‑استوکس چالشبرانگیز خواهد بود اما «آنها با بهترین متخصصان هوش مصنوعی جهان در دیپمایند کار میکنند»، و جمعبندی میکند «مطمئنم که این موضوع در ذهن آنهاست».
این کار در سرور پیشچاپ arXiv در دسترس است.